高等数学公式大全_背诵手册（持续更新）
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高等数学公式大全_背诵手册（持续更新）1.常用等价无穷小2.重要函数的泰勒公式3. 基本求导公式补充1:三角函数常用公式4.不等式相关4.1 均值不等式4.2 柯西不等式4.3 常用不等式
5.反三角函数系列5.1 在不同区域下的三角函数求其反函数5.2 sin(arcsinx)与arcsin(sinx)系列
6.极坐标方程转化为参数方程7. 曲率公式和曲率半径公式8.不定积分计算公式9.用三角函数换元计算积分10.高阶导数公式10.1 n阶导数的记忆10.2 n阶泰勒展开式的记忆
11. 点火公式
1.常用等价无穷小
x→0时,常用的等价无穷小:
sin
x
∼
x
,
tan
x
∼
x
,
arcsin
x
∼
x
,
ln
(
x
+
1
)
∼
x
,
e
x
−
1
∼
x
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
=
x
,
1
−
cos
x
=
1
2
x
2
,
1
−
cos
n
x
=
n
2
x
2
a
x
−
1
=
x
ln
a
,
(
1
+
x
)
a
−
1
=
a
x
\sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \ln(x + 1) \sim x, \quad e^{x} - 1 \sim x \\ \ln\left(x + \sqrt{1 + x^{2}}\right) = x, \quad 1 - \cos x = \frac{1}{2}x^{2}, \quad 1 - \cos^n x = \frac{n}{2}x^{2} \quad \\\ a^{x} - 1 = x\ln a, \quad (1 + x)^{a} - 1 = ax
sinx∼x,tanx∼x,arcsinx∼x,ln(x+1)∼x,ex−1∼xln(x+1+x2
)=x,1−cosx=21x2,1−cosnx=2nx2 ax−1=xlna,(1+x)a−1=ax
2.重要函数的泰勒公式
重要函数的泰勒公式:
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
o
(
x
3
)
,
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
o
(
x
4
)
arcsin
x
=
x
+
x
3
3
!
+
o
(
x
3
)
,
tan
x
=
x
+
x
3
3
,
arctan
x
=
x
−
x
3
3
+
o
(
x
3
)
ln
(
1
+
x
)
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
+
o
(
x
3
)
e
x
=
1
+
x
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
o
(
x
3
)
(
1
+
x
)
a
=
1
+
a
x
+
a
(
a
−
1
)
2
!
x
2
+
o
(
x
2
)
\sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + o\left(x^{3}\right), \quad \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} + o\left(x^{4}\right) \\ \arcsin x = x + \frac{x^{3}}{3!} + o\left(x^{3}\right), \quad \tan x = x + \frac{x^{3}}{3}, \quad \arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + o\left(x^{3}\right) \\ \ln \left(1 + x\right) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o\left(x^{3}\right) \\ e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + o\left(x^{3}\right) \\ \left(1 + x\right)^{a} = 1 + ax + \frac{a\left(a - 1\right)}{2!}x^{2} + o\left(x^{2}\right)
sinx=x−3!x3+o(x3),cosx=1−2!x2+4!x4+o(x4)arcsinx=x+3!x3+o(x3),tanx=x+3x3,arctanx=x−3x3+o(x3)ln(1+x)=x−2x2+3x3+o(x3)ex=1+x+2!x2+3!x3+o(x3)(1+x)a=1+ax+2!a(a−1)x2+o(x2)
3. 基本求导公式
给出基本求导公式（需记忆）：
补充1:三角函数常用公式
4.不等式相关
4.1 均值不等式
均值不等式如下:
4.2 柯西不等式
柯西不等式如下: 证明：
记忆：柯西不等式就是 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
连续型的柯西不等式是积分形式的：
4.3 常用不等式
0
5.反三角函数系列
5.1 在不同区域下的三角函数求其反函数
注意y=sinx的反函数不能直接就写一个arcsiny，在不同的区域下，三角函数的反函数是不同的。
如何记忆？ 就记红色部分就行，记住它的区域，然后其他区域，通过对称平移就能得到。 这里以sinx为例，讲一下记忆的方法。在红色部分是arcsiny，蓝色部分不能直接平移得到，但是arcsiny先关于y轴对称得到-arcsiny，-arcsiny可以平移派个单位得到蓝色部分，故蓝色部分就是派-arcsiny，绿色部分直接平移2派
5.2 sin(arcsinx)与arcsin(sinx)系列
右边三个只有在Θ在[-π/2,π/2]上才成立，假如不在这个范围内，我们常用 sinΘ=sin(π-Θ)这类公式，将它化到这个范围
6.极坐标方程转化为参数方程
7. 曲率公式和曲率半径公式
设y(x)二阶可导，则曲线y=y(x)在点(x,y(x))处的曲率公式为
如果y对x的导数不方便求，我们可以替换为x对y的导数，y’‘替换为x‘’，y’替换为x’
曲率半径的计算公式： 曲率的倒数
8.不定积分计算公式
该页积分要熟练掌握
补充3个需要稍微记忆的，真题考过
9.用三角函数换元计算积分
重要性根号下a2-x2最重要
10.高阶导数公式
高阶导数公式记忆主要分两大块：第一大块是n阶导数的记忆，第二大块是n阶泰勒展开
10.1 n阶导数的记忆
10.2 n阶泰勒展开式的记忆
11. 点火公式